*** Un tirage répété

Une boîte opaque contient \(60\)  boules blanches et \(40\)  boules noires. On se propose d'effectuer un nombre donné de tirages successifs avec remise de chaque boule après tirage. Si l'on obtient  une boule blanche avant la fin de la série de tirages, on s'arrête.

Partie A

Dans cette question, on ira au maximum à quatre tirages. On appelle \(X\)  la variable aléatoire égale au nombre de tirages nécessaires à l'obtention de la première boule blanche. Par convention, \(X\)  sera égale à \(0\)  si l'on n'obtient pas de boule blanche après les \(4\)  tirages.
1. Calculer la probabilité que \(X\)  soit égale à  \(0\) .
2. Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire \(X\) .
3. Déterminer l'espérance de \(X\) .

Partie B

Dans cette question, on procèdera à \(n\)  tirages au maximum, \(n\)  étant un entier naturel non nul. De même, on appellera \(X\)  la variable aléatoire égale au nombre de tirages nécessaires à l'obtention de la première boule blanche. Ici encore, \(X\)  sera égale à \(0\)  si l'on n'obtient pas de boule blanche après \(n\)  tirages.
1. Calculer la probabilité que \(X\)  soit égale à \(k\) , où \(k\)  est un entier naturel non nul inférieur ou égal à \(n\) .
2. On considère la fonction \(f\)  définie sur \(\mathbb{R}\)  par  \(f(x) = 1 + 2x + 3x^2 + \ldots + nx^{n-1}\) .
Soit \(E\left(X\right)\)  l'espérance de la variable aléatoire \(X\) . Montrer que  \(E\left(X\right) = \dfrac{3}{5} f\left(\dfrac{2}{5}\right)\) .
3. On rappelle que, pour tout réel \(x\)  différent de \(1\) , on a  \(1 + x + x^2 + x^3 + \cdots + x^n = \dfrac{x^{n+1} - 1}{x - 1}\) .
Soit \(g\) et \(h\) les fonctions définies sur  \([0;1[\) par  \(g(x)=1+x+x^2+x^3+...+x^n\) et  \(h(x)=\dfrac{1-x^{n+1}}{1-x}\) . 
    a. Justifier que \(f\) et \(g\) sont dérivables sur   \([0;1[\) puis, en dérivant les deux fonctions et à l'aide de l'égalité précédente, déterminer une autre expression de  \(f(x)\) .
    b. En déduire que  \(E\left(X\right) = \dfrac{5}{3} - \left(n + \dfrac{5}{3}\right)\left(\dfrac{2}{5}\right)^n\) et retrouver le résultat de la question 3. de la partie A.